Intervalos reais

 Os intervalos, representam subconjuntos, do conjunto dos números reais, e podem ser abertos ou fechados: representados por, aberto ] ou fechado [, podendo ser representados também por bolinhas.
Podem ser limitados ou ilimitados.
   Intervalo aberto, em ambos os sentidos:

   Intervalo fechado, em ambos os sentidos:



   Intervalo aberto em a e fechado em b:



   Intervalo fechado em a e aberto em b:



   Intervalos infinitos:

{xЄR/x > a}


{xЄR/x<a}


{xЄR/x≥a}



{xЄR/≤a}

Questões de conjuntos

1) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 
2) Dados os conjuntos A = {0, 1,2,3,4,6,8,10}, B = {-2,-1,0, 1, 2} e C = {-7,-3,-1,0,2, 3,4,5,6,7,8,9,1,1}, determine (A U B) ∩ (B U C).
3) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.  
4) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).
5)  (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.

6)  (PUC-RIO 2009) Num colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?

7)(PUC-RIO 2007) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?

8) (UFF 2010)

Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:

A)	o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
B)	a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
C)	entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
D)	entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
E)	a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.

9) (UDESC 2009)

O que os brasileiros andam lendo?
O brasileiro lê, em média, 4,7 livros por ano. Este é um dos principais resultados da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, encomendada pelo Instituto Pró-Livro ao Ibope Inteligência, que também pesquisou o comportamento do leitor brasileiro, as preferências e as motivações dos leitores, bem como os canais e a forma de acesso aos livros. (Fonte: Associação Brasileira de encadernação e Restaure, adapt.)

Supõe-se que em uma pesquisa envolvendo 660 pessoas, cujo objetivo era verificar o que elas estão lendo, obtiveram-se os seguintes resultados: 100 pessoas lêem somente revistas, 300 pessoas lêem somente livros e 150 pessoas lêem somente jornais.

Supõe-se ainda que, dessas 660 pessoas, 80 lêem livros e revistas, 50 lêem jornais e revistas, 60 lêem livros e jornais e 40 lêem revistas, jornais e livros.

Em relação ao resultado dessa pesquisa, são feitas as seguintes afirmações:

I - Apenas 40 pessoas lêem pelo menos um dos três meios de comunicação citados.

II - Quarenta pessoas lêem somente revistas e livros, e não lêem jornais.

III - Apenas 440 pessoas lêem revistas ou livros.

Assinale a alternativa correta.

A)	Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
B)	Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
C)	Somente as afirmativas I, II e III são verdadeiras.
D)	Somente a afirmativa II é verdadeira.
E)	Somente a afirmativa I é verdadeira.

  

P.A e P.G 2

LISTA DE EXERCÍCIOS DE P.A 

1. As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x+1,2x e x²-5 e estão em PA, nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.
2. Determine o valor de x para que os números log₂8, log₂(x+9) e log₂(x+7) estejam nessa ordem em PA.
3. Encontre o termo geral da PA (2,7...).
4. Encontre o termo geral da PA (7\3,11\4,...).
5. Qual o décimo quinto termo da PA (4, 10,...).
6. Qual é o centésimo numero natural par?
7. Ache o quinto termo da PA (a+b, 3a-2b,...).
8. Ache o sexagésimo numero natural impar.
9. Numa PA de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?
10. Ache a₁ numa PA, sabendo que r = 1/4 e a₁₇ = 21.
11. Quantos termos tem uma PA finita de razão 3, sabendo-se que a₁ é -5 e o ultimo termo é 16?
12. Calcule o numero de termos da PA (5, 10,..., 785).
13. Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.
14. Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8?
15. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7?
16. Ache a soma dos 40 primeiros termos da PA ( 8,2,...).
17. Qual a soma dos 50 primeiros termos da seqüência ( -1/2,0,1/2,1,...).
18. Os dois primeiros termos de uma PA é 2 e 1/2, . Calcule a soma dos 20 primeiros termos supondo que se trata de uma progressão aritmética.
19. A soma dos seis termos consecutivos de uma PA é 12, e o ultimo é 7.Determinar os termos da PA.
20. Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.
21. Ao  efetuar a soma de 50 parcelas da PA (202,206,210,...),por distração não foi somada a 35ª parcela.Qual foi a soma encontrada?
22. Resolva a equação 2+5+8+...+x = 77, sabendo que os termos do primeiro membro estão em PA.
23. A soma dos dez termos consecutivos de uma PA é 200, e o primeiro termo é 2. Calcule os termos dessa PA.
24. Calcule a soma dos números inteiros positivos inferiores a 501 e que não sejam divisíveis por 7.
25.  Qual é a soma dos múltiplos de 7  com dois,três ou quatro algarismos?

LISTA DE EXERCÍCIOS DE P.G

1. Determine o valor de x, de modo que os números x+1, x+4 e x+10 formem, nesta ordem, uma PG.
2. Encontre o termo geral da PG (1, 5,...).
3. Encontre o termo geral da PG (2, 1,...).
4. Qual é o 6º termo da PG (512, 256,...).
5. Qual é o 7º termo da PG (1/2, -1,...).
6. Numa PG, tem-se: a₁ = 1, q = √3.Calcule a₇.
7. Determine o numero de termo da PG (1, 2,..., 256).
8. Sabe-se que numa PG a razão é 9, o primeiro termo é 1/9 e o ultimo termo é 729. Qual o numero de termos dessa PG.
9. Qual é o primeiro termo de uma PG, na qual o 11º termo é 3072 e a razão é 2?
10. Uma PG tem 6 termos, sendo 2 o ultimo termo e 1/4 a razão. Qual é  o primeiro termo dessa PG?
11. Numa PG, a₁ =1/4 e a₇ = 16. Calcule a razão dessa PG.
12. Numa PG, o primeiro termo é 4 e o quarto é 4000.Qual é o 1º termo dessa PG.
13. Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.
14. Faça a inserção de dois meios geométricos entre -3 e 24.
15. Obtenha a soma dos 6 primeiros termos da PG ( 7, 14,...).
16. Qual será a soma dos 20 primeiros termos de uma PG, em que a₁ = 1 e q = 2?
17. Numa PG, a soma dos termos é 728. Sabendo-se que a_n = 486 e q = 3, calcule o primeiro termo dessa PG.
18.  Quantos termos devemos considerar na PG (3, 6,...) para obter uma soma de 765?
19. Resolva a equação 10x + 20x + 40x +... + 1280 = 7650, sabendo que os termos do 1º membro estão em progressão geométrica.
20. Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes PG:

1. (5,1,1/5,...)
2. (20, 10, 5,...)
3. (-30, -10, -10/3,...)
4. (2^-2, 2^-4, 2^-6,...)

21. Resolva as equações em que o primeiro termo representa a soma dos termos de uma PG infinita:

a)      80x + 40x + 20x +...=320

b)      x + x/3 + x/9 +...= 12

c)      x² – x²/2 + x²/4 + x²/8 +...= 6

  

P.A e P.G

1)      NUMA P.G CRESCENTE O QUINTO E O SETIMO TERMO SÃO RESPECTIVAMENTE 24 E 216 QUAL A RAZAO DA PG? QUAL O DECIMO TERMO DA PG?

2)     OBTER O NUMERO DE TERMOS DA PG EM QUE O PRIMEIRO TERMO É 1/81 E A RAZAO É 3 E O TERMO GERAL É 243.

3)     DETERMINE O NUMERO DE TERMOS DA PG ( 128, 64......., 1/256)

4)     QUAL É O NUMERO QUE SE DEV SER SOMADO A 1, 9 E 15 PARA QUE SE TENHA NESSA ORDEM UMA PG.

5)     QUAL NUMERO DEVE SER SUBTRAIDO DE 1, 11 E 31, PARA QUE SE TENHA UMA PG

6)     DADA A PG ( 1, 3, 9, 27 ......) SUA SOMA É 3280 QUANTOS TERMOS TEM ESSA PG.

7)     CALCULE A SOMA DOS DEZ TERMOS DA PG (1, ½. ¼ .....)

8)     NUMA PLANTACAO DE EUCALIPTOS UMA PRAGA ATINGIU AS ARVORES, SENDO QUE UMA ARVORE ADOECEU NA PRIMEIRA SEMANA, DUAS NA SEGUNDA SEMANA, QUATRO NA TERCEIRA SEMANA, ATE QUE TODA PLANTAÇAO FICOU DOENTE NA DECIMA SEMANA COM EXECEÇAO DE SETE ARVORES QUAL O NUMERO TOTAL DE ARVORES DESSA PALANTAÇAO

9)      

10)  Determine a geratriz da dizima periódica 4,88888..........

11)  Encontre x em: x +x/3+x/9  +......=12

12)  O terceiro e o sétimo termo da pg valem respectivamente 10 e 18 o quinto termo dessa pg vale?

13)  Se x e y são positivos se X, XY e 3X estão nessa ordem em pg então o valor de Y é:

14)  São dadas duas progressões uma P.A  e uma P.G sabe-se que a razão da P.G É 2,  a em ambas  o primeiro termo vale é igual a 1, a soma dos termos da P.A é igual a soma dos termos da P.G então a razão da P.A vale:

15)  Uma P.A  e uma PG tem ambas o primeiro termo igual a 4, seus quartos termos são estritamente positivos e iguais. O segundo termo da P.A excede o segundo termo da P.G em 2, o terceiro termo das progressões é:

16)  São dados 3 numeros em P.G cuja soma é 26, determinar esses números sabendo que o primeiro o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma P.A.

17)  Em um triangulo a medida da base sua altura e a medida da área formam nessa ordem uma P.G de razão 8 entao a medida da base vale:

18)  Sejam A,B,C números naturais tais que a sequencia ( A,B,C ) é uma P.A e ( B, 28, 2 ( a+c)  ) é uma P.G   então B vale:

19)  A solução da equação x +x/3+ x/9   +  x/27   ....= 60

20)  Os números 3,x, 9 formam nessa ordem uma P.A e os números 4,y, 16 formam nessa ordem uma P.G se x>o e y>o então : 2x+ y vale:

21)  Numa p.g de termos positivos o primeiro é igual a razão e o segundo termo é 3 qual o oitavo termo da P.G

22)  A sequencia ( x,x-1,x+2,...) é uma P.G seu quarto termo vale:

23)  A soma de 1/100   + 1/10000   + 1/1000000 vale:

24)  Inserindo-se 4 meios geométricos entre K e 3125 obtemos uma P.G de razão 5 qual o valor de K:

25)  Uma cultura de certa bactéria mantida em condicçoes idéias triplica seu volume a cada dia, se o volume no primeiro dia é de 9 U.V o volume no quinto dia é ?

26)  Se em uma P.G a soma do terceiro com o quinto termo vale 45 e a soma do quarto com sexto vale 135 entao a razão é igual a:

RESP :

26) 3   25)  729  24)  1  23) 1/99   22)   21)  81 20)   20  19)  40  18)   14  17)  14  16) 18, 6 E 2   15)  10   14)  11/6  13) √3   12) 6√5  11)

1) DECIMO TERMO: 5832  Q= 3   2)  N = 10   3) N= 16   4)   5) X= -9   6) N= 8  7) 1023/512  8) 1030   10)  8/9

Exercícios P.A e P.G

EXERCÍCIOS  DE   PA  E   PG

01-  Uma certa quantidade de latas de atum vai ser disposta em uma pilha de 30 camadas, conforme a       figura  abaixo. Determine a quantidade de latas de pilha.

       a) 1200           b) 900                    c) 700                d) 600                       e) 500

02-  Um teatro tem 18 poltronas na primeira fila, 24 na Segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência, até a vigésima fila que é a última. O número de poltronas desse teatro é:

    a) 92                b) 132                    c) 150                d) 1320                     e) 1500 

03-  Em um certo telhado, as telhas dispõem-se de modo que cada fila tem 2 telhas a mais que a anterior. Um telhadista está calculando quantas telhas precisa para as 4 faces do telhado. Ajude-o a calcular o número de telhas sabendo que cada face leva 4 telhas na primeira fileira e 38 na última fileira de cima para baixo.

       a) 378              b) 756                    c) 1512              d) 156                       e) 312

04-  (UNIRIO) O fichário de clínica médica de um hospital possui 10 000 clientes cadastrados em fichas numeradas de 1 a 10 000. um médico pesquisador, desejoso de saber a incidência de hipertensão arterial entre pessoas que procuravam o setor, fez um levantamento, analisando as fichas que tinham números múltiplos de 15. Quantas fichas não foram analisadas?

      a) 666            b) 1 500                c) 1 666             d) 8 334                  e) 9 334 

05-  (UF-ES) Uma pesquisa acompanhou o crescimento de uma colônia de bactérias. Na 1º observação constatou-se um total de 1 500 bactérias. Observações periódicas revelaram que a população da colônia sempre duplicava em relação à observação imediatamente anterior. Em que observação a colônia alcançou a marca de 375 X 2⁵⁵  bactérias?

      a) 50ª             b) 54ª              c) 58ª                   d) 62ª                    e) 66ª

06-   (Fuvest-SP) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a  Ö2 . Se o produto dos termos dessa progressão é 2³⁹  , então o número de termos é igual a:

   a) 12     b) 13                           c) 14                           d) 15               e) 16.

07-   (Fuvest) A espessura de uma folha de estanho é 0,01 cm. Forma-se uma pilha de folhas, colocando-se duas na primeira vez e em cada vez sucessiva tantas quantas já foram colocadas anteriormente. Repetindo-se 40 vezes a operação, a altura da pilha final seria mais próxima:

a)      a)       da altura de um poste de iluminação;

b)      b)       da distância São Paulo-Rio;

c)      c)       da altura de um período de 40 andares;

d)     d)       de duas vezes a circunferências da Terra;

08-   (Fuvest-SP) Um país contraiu em 1829 um empréstimo de 1 milhão de dólares, para pagar em cem anos, à taxa de juros de 9% ao ano. Por problemas de balança comercial, nada foi pago até hoje, e a dívida foi sendo “rolada”, com capitalização anual dos juros. Qual dos valores abaixo está mais próximo do valor da dívida em 1989?

Para os cálculos adote (1,09)⁸ @2.

a)      a)       14 milhões de dólares.

b)      b)       500 milhões de dólares.

c)      c)       1 bilhão de dólares.

d)     d)       80 bilhões de dólares.

e)      e)       1 trilhão de dólares.

09-   (ITA-SP) A soma dos 5 primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r é 5 0 e a soma dos termos de uma progressão geométrica infinita de razão q é 12. Se ambas as progressões tiverem o mesmo termo inicial, menor do que 10, e sendo q = r², podemos afirmar que a soma dos 4 primeiros termos da progressão geométrica será:

a) 623           b)    129             c)   35            d)   765          e)  13                                       

        11                    32                     2                     64

10- Determine X em:  ³Öx ³Öx ³Ö x... = 27. O valor encontrado é:

a) 27          b) 9          c) 3Ö3                  d) Ö3                  e) ³Ö9

11- (Viçosa-MG) A superfície de certa folha vegetal aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5 semanas de controle, foi medida sua superfície e obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60 cm²:

a)      a)       somente após a 10ª semana

b)      b)       entre a 9ª e a 10ª semana

c)      c)       entre a 7ª e a 8ª semana

d)     d)       entre a 6ª e a 7ª semana

e)      e)       precisamente na 10ª semana

12    12      -Uma bola é lançada, na vertical, de encontro ao solo, de uma altura h. Cada vez que bate ao solo, ela sobe até a metade da altura de que caiu. A distância total percorrida pela bola em sua trajetória, até atingir o repouso é:

a) h          b) 2h          c) 3h          d) 4h          e) 5h

13-  13-    Um escritor escreveu, em certo dia, as 20 primeiras linhas de um livro. A partir desse dia, ele escreveu, em cada dia, tantas linhas quantas havia escrito no dia anterior mais 5 linhas. O livro tem 17 páginas, cada uma com exatamente 25 linhas. Em quantos dias o escritor terminou de escrever o livro?

a) 10           b) 17           c) 19           d) 22           e) 25

14- (UERJ-2000) Leia atentamente:

O personagem é conduzido, em linha reta, num mesmo sentido, por uma distância de 30 m e cada passo mede 50 cm. Se um dos carregadores cobrar conforme o padrão indicado, ele receberá, em reais, a quantia de:

 a) 400

   b) 500

c) 600

 d) 700

15- Três números naturais e múltiplos consecutivos de 5 são tais que o triplo do menor é igual ao dobro do maior.

Dentre esses números, o maior é:

       a)   múltiplo de 3

                    b)  ímpar

                    c)  quadrado perfeito

             d)  divisor de 500

             e)  divisível por 4

Exercícios P.G

 01)  Em uma colônia de bactérias, uma bactéria divide-se em duas a cada hora. Determinar o número de bactérias originadas de uma só bactéria dessa colônia depois de 15 horas.

02)  Se cada coelha de uma colônia gera três coelhas, qual o número de coelhas da 7ª geração que serão descendentes de uma única coelha?

03)  Numa PG de quatro termos, a razão é 5 e o último termo é 375. Calcular o primeiro termo dessa PG.

04)  Numa PG, o 2º termo é 8 e o 5º termo é 512. Escrever essa PG.

05)  A soma de três números em PG é 39 e o produto entre eles é 729. Calcular os três números.

06)  Qual é o primeiro termo de uma  PG, na qual o 11º termo é 3.702 e a razão é 2?

07)  Uma PG tem 6 termos,  sendo 2 o último termo e ¼ a razão. Qual é o primeiro termo dessa PG?

08)  Numa PG a₁= ¼ e a₇= 16. Calcule a razão dessa PG.

09)  Numa PG, o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4.000. Qual é a razão dessa PG?

10)  Numa PG a₅= 32 e a₈= 256. Calcule  q e a₁.

11)  O terceiro termo de uma progressão geométrica crescente é 2 e o sétimo é 512. Calcule o quinto termo dessa progressão.

12)  Insira quatro meios geométricos entre 1 e 243.

13)  Entre os números 18 e b foram inseridos 2 termos, obtendo-se uma PG de razão 3. Qual é o valor de b?

14)  Insira dois meios geométricos reais entre -3 e 24.

15)  Dada a progressão geométrica (1, 3, 9, 27, ...), calcular:

a)      a soma dos 6 primeiros termos;

b)      o valor de n para que a soma de n primeiros termos seja 29.524.

16)  Ache a soma dos 10 primeiros termos das progressões:

a)      (2, 4, 8, ...)

b)      (-1, 4, -16, ...)

17)  Calcule a soma dos termos da PG (5, 50, ..., 500.000), usando a calculadora.

18)  Quantos termos devemos considerar na PG (3, 6, ...) para obter 765 como soma de termos?

19)  Comprei um automóvel e vou pagá-lo em prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada uma das seguintes seja o dobro da  anterior. Qual é o preço do automóvel?

20)  Calcular a soma dos termos da PG ( 1, ¼, 1/16, ...).

21)  Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes progressões geométricas:

a)      (5, 1, 1/5, ...);

b)      (20, 10, 5, ...);

c)      (-30, -10, -10/3, ...);

d)     (2^-2, 2^-4, 2^-6, ...);

e)      (1, 10^-1, 10^-2, 10^-3, ...)

f)       (9^-1, 10^-1, 9.10^-2, 9²,10^-3, ...)

22)  Ache o valor para o qual converge uma das seguintes séries:

a)      20 + 4 + 4/5 + 4/25 + ...

b)      1 – ½  + ¼ - ⅛ + ...

c)      8 + 2 + ½ + ⅛ + ...

d)     1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ...

e)      1 – 0,1 + 0,01  - 0,001 + ...

Gabarito dos exercícios de PG

01)  32768

02)  2187

03)  3

04)  (2, 8, 32, 128, 512)

05)  Dica para resolução: Use     resposta: 3, 9, 27

06)  3

07)  2048

08)  2 e -2

09)  10

10)  primeiro termo = 2 e razão = 2

11)  32

12)  (1, 3, 9, 27, 81, 243)

13)  486

14)  (-3, 6, -12, 24)

15)   a) 364       b) n = 10

16)   a) 2046     b)

17)  555.555

18)  8 termos

19)  12700 reais

20)   

21)    

a)      25/4

b)      40

c)      -45

d)     1/3

e)      10/9

f)       10/9

22)   

a)      25

b)      2/3

c)      32/3

d)     10/9

e)      10/11